契約書を作成しないと契約は成立しないのでしょうか。

契約書を作成しなくても、契約は有効に成立します。ただし、例外もあります。

私たちは普段コンビニなどで買い物をします。これは法的にはコンビニとの間で売買契約という契約を締結していることになります。コンビニで買い物をするときに契約書は作成しませんが、売買契約という契約自体は有効に成立しています。このように契約は書面を作成しなくても成立します。口約束であっても契約として有効です。

もっとも、例外もあります。代表例はお金を借りる際に登場する保証契約です。保証契約は書面を作成しなければ成立しません(民法446条2項)。