自分の死後、遺言書の内容は誰が執行するのですか？

遺言執行者が遺言書の内容通りに遺産を分配します。
遺言執行者とは、遺言の内容を実現するために必要な行為や手続をする人のことです。

誰を遺言執行者にすれば良いですか？

誰を遺言執行者にするかは、遺言者、が遺言書の中で指定することができます。
遺言書中に、遺言執行者の指定がない場合には、相続人等の利害関係者が家庭裁判所に申立てをして、遺言執行者を選任してもらう必要があります。
遺言執行者の指定は遺言書の中で必ずしなければならないというわけではありませんが、自分の死後、相続人等に少しでも負担をかけたくないというのであれば、指定をしておいた方がよいでしょう。